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第一节 X2检验

X[SB]2[/SB](称卡方)检验用途较广,但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显着性,也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

一、两个率的比较

(一)X[SB]2[/SB]检验的基本公式 下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较,见表3.5,其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同,抗凝药组为25.33%,对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种:一种是仅由抽样误差所致;另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况,应当进行X[SB]2[/SB]检验。其基本步骤如下:

1.首先将资料写成四格表形式,如表3.6。

将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分,各占四格表中的一格,这些数字称为实际频数,符号为A,即实际观察得来的数字。

2.建立检验假设 为了进行检验,首先作检验假设:两种疗法的两总体病死率相等,为35%(即70/200),记为H[XB]0[/XB]:π[XB]1[/XB]=π[XB]2[/XB]。即不论用或不用抗凝药,病死率都是35%,所以亦可以换一种说法:病死率与疗法无关。

上述假设经过下面步骤的检验后,可以被接受也可以被拒绝。当H[XB]0[/XB]被拒绝时,就意味着接受其对立假设即备择假设H[XB]1[/XB]。此例备择假设为两总体病死率不相等,记为H[XB]1[/XB]:π[XB]1[/XB]≠π[XB]2[/XB]

因为我们观察的是随机现象,所以无论是接受或拒绝H[XB]0[/XB]都冒有一定风险,即存在着错判的可能性。一般要求,当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值,如5%(或0.05),此值称为检验水准,记为α=0.05。

3.计算理论频数 根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数,符号为T。计算方法如下:假设两总体病死率相同,都是35.0%,那么抗凝血组治疗75人,其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人,而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数,前者为43.75人。后者为81.25人。 然后,把这些理论频数填入相应的实际频数格内,见表3.6括号内数字。

计算理论频数也可用下式(3.4)

T[XB]RC[/XB]=n[XB]R[/XB]n[XB]C[/XB]/N(3.4)

式中,T[XB]RC[/XB]为R行与C列相交格子的理论频数,n[XB]R[/XB]为与计算的理论频数同行的合计数,n[XB]C[/XB]为与该理论频数同列的合计数,N为总例数。

例如;表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数(T[XB]1[/XB][XB]1[/XB])为

T[XB]1[/XB][XB]1[/XB]=[XB] [/XB]75×70/200=26.25

用两种方法计算,结果是相同的。

4.计算χ[SB]2[/SB]值,计算χ[SB]2[/SB]值的基本公式为:

X[SB]2[/SB]=∑(A-T)[SB]2[/SB]/t (3.5)

式中,A为实际频数,T为理论频数,∑为求和符号。

将表3.6里的实际频数与理论频数代入式(3.5)即求得χ[SB]2[/SB]值。此例χ[SB]2[/SB]=4.929。

从式3.5中可看出,实际频数与理论频数之差(A-T)愈小,所得的χ[SB]2[/SB]值就愈小,理论频数是根据检验假设推算出来的,若与实际频数相差不大,说明假设与实际情况符合,于是就接受H[XB]0[/XB],认为两病死率无显著差别;反之,若(A-T)大,则χ[SB]2[/SB]值亦大,说明假设与实际不符,就拒绝假设,认为两病死率有差别。但χ[SB]2[/SB]值大还是小,要有一个比较的标准,要查χ[SB]2[/SB]值表(附表1),查χ[SB]2[/SB]值表前先要定自由度。

5.求自由度 自由度是数学上的一个名词。在统计中,几个数据不受任何条件(如统计量,即样本特征数)的限制,几个数据就可以任意指定,称为有几个自由度。若受到P个条件限制,就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数,如没有任何条件限制,则4个数字都可任意取值,有4个自由度,当a+b,,c+d,a+c,b+d都固定后,在a、b、c、d四个实际频数中,只能有一个频数可任意指定了,因此,四格表的自由度为1。其计算公式为:

ν=(R-1)(C-1) (3.6)

式中,ν为自由度,R为横行数,C为纵列数。

四格表有2行和2列(注意:总计与合计栏不算在内)。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

6.求P值,作结论 根据自由度查χ[SB]2[/SB]值表(附表1)。此表的左侧ν为自由度,表内数字χ[SB]2[/SB]值,表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ[SB]2[/SB]值的概率。三者关系是:在同一自由度下,χ[SB]2[/SB]值越大,从同一总体中抽得此样本的概率P值越小;在同一P值下,自由度越大,χ[SB]2[/SB]值也越大。χ[SB]2[/SB]值与概率P呈相反的关系。χ[SB]2[/SB]检验的常用界值为:

χ[SB]2[/SB]<χ[SB]2[/SB][XB]0.05[/XB][XB]()[/XB]P>0.05 在α=0.05水准处接受H[XB]0[/XB],差别不显著

χ[SB]2[/SB][XB]0.05[/XB]≤χ[SB]2[/SB]<χ[SB]2[/SB][XB]0.01()[/XB]0.05≥P>0.01在α=0.05水准处拒绝H[XB]O[/XB],接受H[XB]1[/XB],差别显著

χ[SB]2[/SB]≥χ[SB]2[/SB][XB]0.01[/XB][XB]()[/XB]P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H[XB]O[/XB],接受H[XB]1[/XB],差别显著

这里α是预定的检验水准。χ[SB]2[/SB][XB]0.05[/XB][XB]()[/XB]是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ[SB]2[/SB]值,简称5%点,χ[SB]2[/SB][XB]0.01[/XB][XB]()[/XB]是与P=0.01相对应的χ[SB]2[/SB] 值,简称1%点。

当ν=1时,χ[SB]2[/SB][XB]0.05[/XB][XB](1)[/XB]3.84,χ[SB]2[/SB][XB]0.01[/XB][XB](1)[/XB]=6.63。本例自由度为1,求得χ[SB]2[/SB]=4.929,介于3.84与6.63之间,或写成χ[SB]2[/SB][XB]0.05[/XB][XB](1)[/XB]<χ[SB]2[/SB]<χ[SB]2[/SB][XB]0.01[/XB][XB](1)[/XB]。由于与3.84对应的纵行P=0.05,与6.63对应的纵行P=0.01,因此与样本χ[SB]2[/SB]=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间,写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H[XB]0[/XB],接受H[XB]1[/XB],两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

在α=0.05水准处拒绝H[XB]0[/XB],说明若在同样情况下作100次判断,将有5次或不到5次的机会,将原没有差别的两总体率错判为有差别,或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

下面将实例的检验步骤集中列出。

例3.1 两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5,其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%,对照组为40.80%,问两组病死率有无显著差别?

表3.5 两组心肌梗塞病人病死率比较

组别治疗人数死亡人数病死率(%)
抗凝血组751925.33
对 照 组1255140.80
总 计2007035.00

检验步骤如下:

1.将资料列成四格表形式,如表3.6。

表3.6 四格表式样

 死亡生存合计
抗凝血组19(26.25)56(48.75)75
对照组51(43.75)74(81.25)125
总 计70130200

2.H[XB]0[/XB]:两疗法的总体病死率相同,即[XB]π1[/XB]=[XB]π2[/XB]

H[XB]1[/XB]:两疗法的总体病死率不同,即[XB]π1[/XB]≠[XB]π2[/XB]

α=0.05

3.求理论频数

抗凝血组:

死亡人数为75×35.0%=26.25人

存活人数为75-26.25=48.75人

对照组:

死亡人数为125×35.0%=43.75人

存活人数为125-43.75=81.25人

把理论频数填入相对应的实际频数格内,见表3.6括号内数字。

4.求χ[SB]2[/SB]值 将表3.6里的数值代入式(3.5)得,

5.求自由度,确定P值,作结论

ν=(2-1)(2-1)=1,χ[SB]2[/SB] [XB]0.05[/XB][XB](1)[/XB]=3.84,χ[SB]2[/SB] [XB]0.01[/XB][XB](1)[/XB]=6.63,

本例χ[SB]2[/SB]=4.929,χ[SB]2[/SB] [XB]0.05[/XB][XB](1)[/XB]<χ[SB]2[/SB] <χ[SB]2[/SB] [XB]0.01[/XB][XB](1)[/XB],则0.05>P>0.01,在α=0.05水准处拒绝H[XB]0[/XB],接受H[XB]1[/XB],即两总体病死率不等,对照组病死率较抗凝血组高。

上例告诉我们,两个样本病死率一大一小,在未作检验之前,很难说它们两总体率是否有差别,为了作出正确判断,作X[SB]2[/SB]检验。先假设两总体病死率相同,推算理论频数,由实际频数与理论频数计算χ[SB]2[/SB]值,二者相差越大,χ[SB]2[/SB]值也越大。本例得χ[SB]2[/SB]=4.929,根据自由度为1时的χ[SB]2[/SB]分布推断,从同一总体内抽样,出现χ[SB]2[/SB]值等于或大于4.929的概率较小,每一百次中在5次以下,1次以上,因此检验假设被拒绝,而判断为有显著差别。

(二)连续性校正公式 χ[SB]2[/SB]检验是以连续的光滑曲线做根据的,当自由度为1时,χ[SB]2[/SB]检验所得的概率容易偏低,因些需要校正,校正后的χ[SB]2[/SB]值比不校正的小一些,校正公式是:

(3.7)

公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。

将表3.5资料代入式(3.7)得:

检验两个率相差的显著性时(此时自由度为1),理论上都可用校正公式。但当用公式(3.5)求出的χ[SB]2[/SB]值小于3.84时,相应的P值大于0.05,表示两个率相差不显著,校正后χ[SB]2[/SB]值更小,仍得同样结构,就无须校正;当用未校正公式求出的χ[SB]2[/SB]值远远超过3.84时,校正后的结论仍相同,在此种情况下也可不校正;当自由度为2及以上时,则不必校正。

当用公式(3.5)求出的χ[SB]2[/SB]值略大于3.84时,校正最为必要,往往会改变原来的结论,举例如下。

例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7 六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

烟薰后鼠洞情况合 计(实验观察洞数)灭洞率(%)
未盗开盗 开
04号配方13(16.63)9(5.37)2259.1
05号配方80(76.37)21(24.63)10179.2
总 计933012375.6

现用公式(3.5)及式(3.6)分别计算χ[SB]2[/SB]值如下:

校正后的χ[SB]2[/SB]值小于3.84,P>0.05,在α=0.05的水准处接受H[XB]0[/XB],认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异,这相结论是比较合理的,如果不经校正就会得出错误的结论。

(三)四格表中求χ[SB]2[/SB]的专用公式 用上述基本公式(3.5)求χ[SB]2[/SB]值,需要求出与实际频数一一对应的理论频数,运算较繁。在四格表中,用下列专用公式较为简便。

(3.8)

式中a、b、c、d为四格表中的实际频数,N表示总例数(即N=a+b+c+d)。

现仍以表3.5资料为例,先写成四格表形式,如表3.8。

表3.8 四格表求χ[SB]2[/SB]值专用公式的符号

 死 亡生存合 计
抗凝血组19(a)56(b)75(a+b)
对照组51(c)74(d)125(c+d)
 70(a+c)130(b+d)200(N)

将实际频数代入式(3.8)得,

这里用专用公式求得的χ[SB]2[/SB]值与前面用基本公式求得的结果完全不同,有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入,这是由于受小数四舍五入的影响。

前面已介绍了连续性校正公式(3.7),为使运算更为简便,下面列出专用公式的连续性校正公式(3.9),并以表3.8资料代入计算如下:

(3.9)

所得结果与式(3.7)求得的一致。

二、多个率或多个构成比的比较

(一)2×K表的专用公式,前面已讨论了,两个率的比较用四格表专用公式计算χ[SB]2[/SB]值较为简便。如果是多个率比较,就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数,2为每个组内所划分的类型数。求χ[SB]2[/SB]值时本可用基本公式计算,但以用下列专用公式为便:

(3.10) (3.11)

表3.9 2×K表形式之一

a[XB]1[/XB]
a[XB]2[/XB]

b[XB]1[/XB]
b[XB]2[/XB]

n[XB]1[/XB]
n[XB]2[/XB]

∑a[XB]i[/XB]∑b[XB]i[/XB]N

公式中符号的意义参阅表3.9,以上两个公式的计算结果是完全一样的。

例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂(吡嗪磺合剂)预防疟疾复发的效果,用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照,比较三组的疟疾复发率,资料如表3.10,问三组复发率有无显著差别?

表3.10 三个组的疟疾复发率

组 别观察例数复发例数复发率(%)
吡嗪磺合剂
乙胺嘧啶
对 照
1996
473
484
76
27
53
3.81
5.71
10.95
合 计29531565.28

χ[SB]2[/SB]检验步骤如下:

1.将表3.10资料写成2×K表形式,见表3.11。注意:这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分,这样表3.10就为写成2×3表。

表3.11 三个组疟疾复发率的比较

 复发未复发合 计
吡嗪磺合剂7619201996
乙胺嘧啶27446473
对 照53431484
合 计15627972953

2.H[XB]0[/XB]:三个总体复发率相同

H[XB]1[/XB]:三个总体复发率不全相同

α=0.05

3.求χ[SB]2[/SB]值 将表3.11的数值代入式(3.10)(因为在表3.11中,各组的a值较小,计算较方便)得:

4.求自由度,确定P值,作结论

ν=(K-1)(2-1)=(3-1)(2-1)=2,查χ[SB]2[/SB]值表得χ[SB]2[/SB][XB]0.01(2)[/XB]=9.21,本例χ[SB]2[/SB]=39.92>χ[SB]2[/SB][XB]0.01(2)[/XB],P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H[XB]0[/XB],接受H[XB]1[/XB],即三个组的复发率有显著差别。

本例的结论是三个组的复发率有显著差别,因此,还需进一步说明三组中那两组有差别,可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是:吡嗪磺合剂与对照组比(P<0.01),乙胺嘧啶组与对照组比(P<0.01),而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比(P>0.05),说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用,其效果不低于乙胺嘧啶。

本例2×K表的2是指得发、未复发两项,K为比较的组数,K=3。如果比较组数只有2,而构成每组的项数则多于2,如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数,K作为项数,检验方法同上,表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12 2×K表形式之二

a[XB]1[/XB]a[XB]2[/XB]……∑a[XB]i[/XB]∑b[XB]i[/XB]
b[XB]1[/XB]b[XB]2[/XB]……
n[XB]1[/XB]n[XB]2[/XB]……N

例3.4,为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别,某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查,得资料如表3.13,问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别?

表3.13 某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名弥漫型结节型混合型合计
甲县48624492
乙县13326051444
合计61926255936

检验步骤如下:

1.H[XB]0[/XB]:两总体甲状腺肿型别构成相同

H[XB]1[/XB][XB]:[/XB]两总体甲状腺肿型别构成不同

α=0.05

2.求χ[SB]2[/SB]值, 将表3.13中的数值代入式3.10得:

3.求自由度,确定P值,作结论。

ν=(3-1)(2-1)=2,查χ[SB]2[/SB]值表得χ[SB]2[/SB][XB]0.01(2)[/XB]=9.21,本例,χ[SB]2[/SB]=494.36,P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H[XB]0[/XB],接受H[XB]1[/XB],甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别(P<0.01)。甲县以弥漫型为主,而乙县结节型较多,地域与患者的型别构成具有一定的关系。

此类资料经χ[SB]2[/SB]检验作结论,如果不显著,说明两组资料的构成比来自同一总体,没有显著差别。如果结论显著,说明两组的构成比来自不同总体,差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。

(二)R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时,可用基本公式(3.5),但运算较繁,如果用R×C表的通用公式计算χ[SB]2[/SB]值,较为简便。

      (3.12)

式中,A[XB]ij[/XB]为i行第j列的实际频数,n[XB]i[/XB]为第i行的合计数,n[XB]j[/XB]为第j行列的合计数,N为总频数。

这个公式也系由基本公式(3.5)推导出来,式(3.12)也可用以求四格表、2×K表资料的X[SB]2[/SB]值,故称通用公式,用此公式不需计算理论频数,与基本公式(3.5)相比,较为简便。

例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在?

表3.14 胆结石类型与部位的关系

结石部位总例数例 数百 分 比
胆固醇结石胆红素结石其它胆固醇结石胆红素结石其它
胆囊11870163259.313.627.1
肝外胆管7512392416.052.032.0
肝内胆管2922076.969.024.1
合计22284756337.833.828.4

检验步骤如下:

1.将表3.14资料写成R×C表形式,见表3.15.

表3.15 胆结石类型与部位的关系

结石部位结 构 类 型
 胆固醇结石胆红素结石其它合计 
胆囊701632118 
肝外胆管12392475 
肝内胆管220729 
合计847563222 

2.H[XB]0[/XB]:胆结石的类型与部位没有关系

H[XB]1[/XB]:胆结石的类型与部位有关系

α=0.01

3.求χ[SB]2[/SB]值 将表3.15数值代入式(3.12)得:

4.求自由度,确定P值,作结论。

ν=(3-1)(3-1)=4,查χ[SB]2[/SB]值表得χ[SB]2[/SB][XB]0.01(4)[/XB]=13.28,本例χ[SB]2[/SB]=64.06<χ[SB]2[/SB][XB]0.01[/XB]。在α=0.01水准处拒绝H[XB]0[/XB],接受H[XB]1[/XB],胆结石类型与部位有显著关系存在(P<0.01),胆囊内以胆固醇结石居多,肝内、外胆管以胆红素结石为主。